Aufgabentypen

Zur Etablierung einer lernförderlichen Aufgabenkultur im Mathematikunterricht sollte der Einsatz verschiedener Aufgabentypen in der Unterrichtskonzeption berücksichtigt werden. Hierbei spielen die Aufgabentypen nach Bruder eine tragende Rolle, da durch sie eine Variabilität des Unterrichts garantiert werden kann, welche eine kognitive Anregung der Schülerinnen und Schüler gewährleistet.
Eine motivierende und lernfördernde Aufgabenkultur im Mathematikunterricht sollte außerdem differenzierende, prozessorientierte und diagnostische Aufgaben beinhalten. Diese werden im Folgenden vorgestellt.

Karikatur von Michael Hüter

Relevanz

Die Relevanz zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur lässt sich in empirischen Untersuchungen der letzten Jahre wiederfinden. Gemeinsame Ursachen für auftretende Phänomene ist auf eine unzureichend ausgeprägte Aufgabenkultur im Mathematikunterricht deutscher Schulen zurückzuführen.
Exemplarische Beispiele werden im Folgenden genannt:

• Lernende aus Deutschland weisen in der PISA-Studie 2003 deutlich höhere Werte im Bereich der Problemlösefähigkeiten im Vergleich zu der mathematischen Kompetenz auf. Diesen Befund weisen nur sehr wenige Staaten im internationalen Vergleich auf. Interpretativ bedeutet dies, dass das kognitive Potenzial deutscher Schülerinnen und Schüler weniger erfolgreich in mathematische Kompetenz umgesetzt wird.
• Die TIMS-Studie weist auf, dass im Mathematikunterricht an deutschen Schulen komplexe Aufgaben am wenigsten gestellt werden, im Vergleich zu den USA und Japan.
• Inhaltliches mathematisches Denken von Lernenden der Klassenstufen 5 und 6 werden durch die Anwendung erlernter kalkülhafter Regeln ersetzt.

Die genannten empirischen Phänomene weisen keineswegs eine geringere Leistungsfähigkeit deutscher Schülerinnen und Schüler im internationalen Vergleich auf. Es besteht allerdings grundlegender Bedarf diese Leistungsfähigkeit im Mathematikunterricht abzurufen. Dabei sollte unter anderem die Entwicklung einer lernförderlichen Aufgabenkultur eine zentrale Rolle spielen.
Im Folgenden werden Möglichkeiten zur Umsetzung dieses Ziels dargestellt.

Aufgabentypen nach Bruder

Aufgabentypen nach Bruder (2000)

Die Mathematikdidaktikerin Regina Bruder hat sich im Zuge der Diskussion zur Verbesserung der Unterrichtskultur, als Folge der Evaluation der TIMS-Studie, damit auseinandergesetzt, "wie es gelingen kann, dass sich Schüler_innen erfolgreicher als bisher mit nicht (schematisch) eingeübten Aufgaben auseinandersetzen wollen und können. Im Unterrichtsalltag ist die Verführung groß, sich auf bestimmte Standardaufgaben zurückzuziehen, die systematisch trainiert werden." Bruder definiert Aufgaben als "Aufforderungen zum Lernhandeln" und klassifiziert acht mögliche Aufgabentypen anhand drei verschiedener Komponenten:

• Anfangssituation (Gegebenes)
• Transformation (Lösungsweg)
• Endsituation (Gesuchtes)

Durch die Variation der Belegung der Komponenten entstehen acht unterschiedliche Aufgabentypen, die in der seitlichen Grafik aufgeführt sind. Laut Bruder ermöglicht die Aufgabentypisierung die Evaluierung des eigenen Unterrichts. Man kann erkennen wie vielseitig oder auch "verkopft" der eigene Unterricht ist. Zur Umsetzung einer lernförderlichen Aufgabenkultur ist eine Ausgewogenheit der verschiedenen Aufgabentypen konstituierend. Bruder geht sogar soweit und behauptet:

"Wenn diese Aufgabentypen im Unterricht nicht in angemessenen Anteilen (das bedeutet keineswegs gleich-gewichtig!) vorkommen, haben viele SchülerInnen kaum reale Chancen, fundamentale Ideen der Mathematik und Wege und Möglichkeiten für Anwendungen von Mathematik zu erfahren und zu verstehen."

Diese Aufgabentypen garantieren demnach eine kognitive Aktivierung der Schülerinnen und Schüler, indem wesentliche Lerntätigkeiten abgebildet werden, vernetzendes Denken ermöglicht wird, individuelle Freiräume zur Differenzierung dargeboten wird und methodische Variabilität des Unterrichts zur Motivationssteigerung eingefordert wird.

Differenzierende Aufgaben

Differenzierende Aufgaben berücksichtigen in besonderem Maße unterschiedliche Niveaustufen der Lernenden, sodass Aufgaben je nach individuellem Vorwissen und Leistungsstand bearbeitet werden können. Eckpfeiler differenzierenden Unterrichts sind:

• Sicherung des Ausgangsniveaus (zum Beispiel durch vermischte Kopfübungen)
• Ziel- und Inhaltstransparenz (zum Beispiel durch Lernprotokolle)
• Förderung der Selbstregulation (zum Beispiel durch Checklisten zur Klausurvorbereitung)
• kognitive Aktivierung (zum Beispiel durch angepasste Anforderungen an verschiedene Lernvoraussetzungen)

Im Folgenden werden verschiedene Beispiele für differenzierende aufgabenbezogene Methoden vorgestellt. Grundlegende Ansätze differenzierenden Unterrichts erhalten Sie auf der Seite: Binnendifferenzierung

Optionale Teilaufgaben

Auf der Seite ZUM-Unterrichten werden optionale Zusatz- und Förderaufgaben mit diesem Zeichen gekennzeichnet.

Zusatzaufgaben werden als differenzierende und optionale Aufgaben angeboten. Die Lernenden entscheiden individuell und je nach Leistungsstand, ob sie die Bearbeitung dieser Aufgaben für den eigenen Lernprozess als sinnvoll erachten.
Die Bearbeitung dieser Aufgaben sollte eine angemessene Bewertung und Wertschätzung zugesprochen werden, da diese sonst schnell als Beschäftigungsvorwand von den Lernenden interpretiert werden.

Blütenaufgaben

Visualisierung des typischen Aufbaus einer Blütenaufgabe.
Beide Grundaufgaben sind zu bearbeiten. Beim Aufstieg der Blüte bestehen Wahlmöglichkeiten.

Blütenaufgaben sind anforderungsgestufte Aufgaben, bestehend aus mehreren Teilaufgaben mit zunehmendem Anspruchsniveau zum selben Themenkontext. Blütenaufgaben beginnen mit einer geschlossenen Einstiegsaufgabe, die den Schülerinnen und Schüler zugänglich ist. Es folgen weitere offene Teilaufgaben mit gestuften Anforderungen. Dieser Aufgabentyp ermöglicht, dass mit einer einzigen Aufgabe Grundanforderungen gestellt und weiterführende Anforderungen geöffnet werden können.

Aufgabensets

Ein Aufgabenset beinhaltet circa zehn schwierigkeitsgestufte Aufgaben zu einem Thema aus dem (inner-)mathematischen Kontext, welche gezielt für eine einzelne Übungsphase zusammengestellt werden. Dabei bearbeitet die einzelne Schülerin bzw. der einzelne Schüler nicht alle zehn Aufgaben, sondern nur eine bestimmt vorgegebene Anzahl an Aufgaben. Die ersten Aufgaben bewegen sich im Anforderungsbereich I und beinhalten hauptsächlich Grundaufgaben und Aufgabenumkehrungen. Die nächsten Aufgaben sind dem Anforderungsbereich II zuzuordnen und beinhalten Anwendungen oder erste Verallgmeinerungen. Die letzten Aufgaben sind dem dritten Anforderungsbereich zuzuordnen. Hierbei werden vertiefende Transferaufgaben behandelt. Die Zusammenstellung der Inhalte und die Wahlmöglichkeiten gewährleisten, dass die Lernenden entsprechend ihres Festigungsbedarfs und ihres Leistungsvermögens angemessen gefördert und gefordert werden.

Prozessorientierte Aufgaben

Visualisierung des Modellierungskreislaufs nach Blum & Leiß (2005).

Prozessorientierte Aufgaben konzentrieren sich auf die anzuwendenden Prozesse des Problemlösens oder Modellierens. Die Kenntnisse von mathematischen Inhalten rückt hierbei eher in den Hintergrund.
Ein Beispiel prozessorientierter Aufgaben im Mathematikunterricht sind Modellierungsaufgaben. Die Kompetenz des Modellierens beinhaltet „realitätsbezogene Situationen durch den Einsatz mathematischer Mittel zu verstehen, zu strukturieren und das der Situation zugrunde liegende Problem einer Lösung zuzuführen sowie Mathematik in der Realität zu erkennen und zu beurteilen.“

Phasen und Ziele von Modellierungsaufgaben

Die verschiedenen Phasen eines Modellierungsprozesses sind in der seitlich aufgeführten Grafik visualisiert. Die von den Schülerinnen und Schülern zu vollzuiehenden Teilschritte sind folgende:

1. Aufgabenstellung verstehen und Situationsmodell bilden
2. durch Treffen geeigneter Annahmen wird das Situationsmodell strukturiert, idealisiert und präzisiert sowie ein Realmodell konstruiert
3. das Realmodell wird in ein mathematisches Modell transformiert
4. ein ausgewähltes mathematisches Verfahren wird angewendet und ein mathematisches Resultat hergeleitet
5. das mathematische Resultat wird interpretiert und in ein reales Resultat transformiert
6. dieses reale Resultat wird unter der Gegebenheiten der Situation überprüft
7. der Lösungsprozess wird nachvollziehbar dokumentiert

Durch den Einsatz und die Anwendung von Modellierungsaufgaben im Unterricht werden inhaltsorientierte (Erschließung der realen Welt mit mathematischen Mitteln), prozessbezogene (Ausbildung mathematischer Problemlösefähigkeiten, wie zum Beispiel heuristischer Strategien) und allgemeine Ziele (kulturbezogene Vermittlung von der Verwendung der Mathematik in der realen Welt, als zentraler Aspekt für die Entwicklung der Mathematik als Wissenschaft, dazu zählt auch die kritische Reflexion mathematischer Modelle in der Gesellschaft) verfolgt.

Diagnoseaufgaben

Diagnoseaufgaben sind ein mögliches Werkzeug, Erkenntnisse über den aktuellen Wissensstand und vorhandene mathematische Problemlösefähigkeiten der Lernenden in Erfahrung zu bringen. Sie können außerdem Hinweise darauf geben, worin genau Kenntnisdefizite beim Verständnis mathematischer Sachverhalte vorhanden sind. Dies ist insbesondere für die Bereitstellung individueller Förderangebote von großer Bedeutung.
Diagnoseaufgaben sollten bestimmte Bedingungen erfüllen:

• sie sollten eine erkennbare Relation zwischen entstehenden Schülerlösungen und systematischen Fehlerstrategien herstellen können. Dies dient der Vergleichbarkeit der entstehenden Ergebnisse und somit der qualitativen Einschätzung dieser.
• um eine detaillierte Fehlerstrategieanalyse zu ermöglichen sollten die Lösungswege der Schülerinnen und Schüler begründet dargelegt werden
• um bei der Anwendung von Diagnoseaufgaben die Erhebung des Umgangs mit Zeit- und Leistungsdruck auszuschließen, sollten Diagnoseaufgaben von Leistungsbewertungen entkoppelt sein
• Leistungsstanddiagnosen sollten langfristig, hinsichtlich bestimmter Variablen, angelegt sein, um eine möglichst vielsietige und fundiert Diagnose zu gewährleisten
• für den Vergleich des Lernendenselbstkozenpts mit dem tatsächlichen Lernstand sollte eine Selbsteinschätzung oder eine Reflexion in der Diagnose des Leistungsstands implementiert sein