https://wiki.sachsen.schule/igbb/index.php?action=history&feed=atom&title=Satz_des_ThalesSatz des Thales - Versionsgeschichte2026-05-25T22:39:55ZVersionsgeschichte dieser Seite in igbMediaWiki 1.45.3https://wiki.sachsen.schule/igbb/index.php?title=Satz_des_Thales&diff=4593&oldid=prevGI-SoSe2022: Formulierung des Satz des Thales mit Beweis und Anwendung sowie Veranschaulichungen.2022-09-10T20:43:10Z<p>Formulierung des Satz des Thales mit Beweis und Anwendung sowie Veranschaulichungen.</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie. Er besagt, dass alle Dreiecke, von denen eine Seite den Durchmesser eines Kreises bildet, rechtwinklig sind. Damit ist er genau genommen ein Spezialfall des [[Peripherie-Zentriwinkel-Satz]]es. <br />
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=Formulierung des Satzes=<br />
[[Datei:SatzDesThalesVeranschaulichung.png|mini]]<br />
Sei ∆ABC ein [[Dreieck]]. Liegt die C auf dem [[Kreis]] mit [[Durchmesser]] AB, dann hat das [[Dreieck]] bei C einen rechten Winkel.<br />
Der Satz lässt sich umkehren und lautet dann: Hat das [[Dreieck]] ∆ABC einen rechten Winkel bei C, dann liegt C auf einem [[Kreis]] mit [[Durchmesser]] AB. <br />
<ref> Scheid H., Schwarz W. Elemente der Geometrie, S. 26 f </ref> <br />
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=Beweis= <br />
[[Datei:BeweisSatzDesThales.png|mini|Beweisskizze]]<br />
Indem wir vom Mittelpunkt M zu [[Punkt]] C den [[Radius]] einzeichnen können wir das [[Dreieck]] ∆ABC in zwei gleichschenklige [[Dreiecke]] ∆AMC und ∆BMC zerlegen, da sowohl die [[Strecke]]n MA und MC sowie MB und MC den [[Radius]] darstellen. <br />
Das ursprüngliche [[Dreieck]] ∆ABC besitzt wie alle Dreiecke die [[Innenwinkelsumme]] 180°<br />
Es gilt also: α + β + γ = 180°<br />
Da sich der [[Winkel]] γ aus α‘ und β‘ ergibt gilt ebenfalls: α + β + (α‘ + β‘) = 180° <br />
Die Dreiecke ∆AMC und ∆BMC sind gleichschenklig, woraus folgt, dass α = α‘ und β = β‘ gelten.<br />
Wir können also weiter umformen: α + β + (α + β) = 180° <br />
Was gleichbedeutend ist mit: 2 ⋅ (α + β) = 180° <br />
Teilen wir nun noch durch 2 erhalten wir: α + β = 90°.<br />
Da α‘ und β‘ zusammen genauso groß sind wie γ, gilt dies auch für α und β (gleichschenklige Dreiecke). <br />
Damit ergibt sich die gesuchte Aussage: γ = 90°<br />
<ref> https://www.studienkreis.de/mathematik/satz-des-thales/#beweis-des-thalessatzes </ref><br />
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=Anwendung=<br />
[[Datei:KonstruktionSatzDesThales.gif|mini|Konstruktion eines Dreiecks mit rechtem Winkel]]<br />
Der Satz des Thales lässt sich unter anderem ausnutzen, um rechtwinklige Dreiecke oder Tangenten an einen Kreis zu konstruieren.<br />
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=Übung=<br />
Bestimme die fehlenden Winkelgrößen.<br />
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[[Datei:SatzDesThalesUebung1.png|mini|left]] [[Datei:SatzDesThalesUebung2.png|mini]]<br />
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=Quellen=</div>GI-SoSe2022