Sinusfunktion - Versionsgeschichte

FFunke am 28. Juni 2021 um 14:26 Uhr

2021-06-28T14:26:27Z

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	=Quellen=		=Quellen=

	[[Kategorie:~~A-Z~~]]		[[Kategorie: Mathematik]]

DiMedS am 3. April 2021 um 01:11 Uhr

2021-04-03T01:11:56Z

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	'''f(x) = a * sin(bx + c)'''		'''f(x) = a * sin(bx + c)'''

	Der Parameter '''a''' sorgt für die ~~Ausdehnung~~ des Wertebereiches auf [-a,a].		Der Parameter '''a''' hat Einfluss auf die Amplitude des Funktionsgraphen und sorgt für die Änderung des Wertebereiches auf [-a,a].

	Der Parameter '''b''' beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur ''2π/b''-periodisch.		Der Parameter '''b''' beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur ''2π/b''-periodisch.

DiMedS am 3. April 2021 um 01:07 Uhr

2021-04-03T01:07:40Z

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	Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle [[Reellen Zahlen]]. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den [[Ganzen Zahlen]]. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den Ganzen Zahlen.		Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle [[Reellen Zahlen]]. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den [[Ganzen Zahlen]]. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den Ganzen Zahlen.

	==Einfluss von Parametern~~<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>~~==		==Einfluss von Parametern==
	'''f(x) = a * sin(bx + c)'''		'''f(x) = a * sin(bx + c)'''

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	Der Parameter '''b''' beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur ''2π/b''-periodisch.		Der Parameter '''b''' beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur ''2π/b''-periodisch.

	Der Parameter '''c''' verursacht eine Verschiebung um ''(c/b)'' entlang der x-Achse. Für c/b > 0 gibt es eine Verschiebung nach links, für c/b < 0 eine Verschiebung nach rechts.		Der Parameter '''c''' verursacht eine Verschiebung um ''(c/b)'' entlang der x-Achse. Für c/b > 0 gibt es eine Verschiebung nach links, für c/b < 0 eine Verschiebung nach rechts.<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>

	=Ableitung=		=Ableitung=
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	==Beispiele==		==Beispiele==
	f(x) = sin(x^2) ==> f`(x) = 2x * ~~sin~~(x^2)		f(x) = sin(x^2) ==> f`(x) = 2x * cos(x^2)

	f(x) = sin(e^x) ==> f`(x) = e^x * ~~sin~~(e^x)		f(x) = sin(e^x) ==> f`(x) = e^x * cos(e^x)

	f(x) = 2 * sin(3x^4) ==> f`(x) = 2 * 12x^3 * ~~sin~~(3x^4) = 24x^3 * ~~sin~~(3x^4)		f(x) = -2 * sin(3x^4) ==> f`(x) = -2 * 12x^3 * cos(3x^4) = -24x^3 * cos(3x^4)

	=Aufgaben=		=Aufgaben=

FFunke am 15. Februar 2021 um 08:22 Uhr

2021-02-15T08:22:08Z

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	==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==		==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==
	~~<math>~~f(x) = a * sin(bx + c)~~</math>~~		'''f(x) = a * sin(bx + c)'''

	Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].		Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].

FFunke am 15. Februar 2021 um 08:17 Uhr

2021-02-15T08:17:41Z

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	==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==		==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==
	<math>f(x) = a * sin(bx + c)<\math>		<math>f(x) = a * sin(bx + c)</math>

	Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].		Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].

FFunke am 15. Februar 2021 um 08:17 Uhr

2021-02-15T08:17:24Z

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	==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==		==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==
	<math>~~'''~~f(x) = a * sin(bx + c)~~'''~~<\math>		<math>f(x) = a * sin(bx + c)<\math>

	Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].		Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].

FFunke am 15. Februar 2021 um 08:17 Uhr

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	==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==		==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==
	'''f(x) = a * sin(bx + c)'''		<math>'''f(x) = a * sin(bx + c)'''<\math>

	Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].		Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].

DiMedS am 14. Februar 2021 um 19:53 Uhr

2021-02-14T19:53:40Z

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	In diesem Abschnitt wird nur auf die Funktion '''f(x) = sin(x)''' eingegangen.		In diesem Abschnitt wird nur auf die Funktion '''f(x) = sin(x)''' eingegangen.

	Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle [[Reellen Zahlen]]. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den ~~ganzen~~ Zahlen. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den [[Ganzen Zahlen]].		Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle [[Reellen Zahlen]]. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den [[Ganzen Zahlen]]. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den Ganzen Zahlen.

	==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==		==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==

DiMedS am 14. Februar 2021 um 19:43 Uhr

2021-02-14T19:43:04Z

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	=Quellen=		=Quellen=

			[[Kategorie:A-Z]]

DiMedS: Die Seite wurde neu angelegt: „Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion. Sie ist auffällig durch ihre Periodizität und ihre, sich zyklisch wiederholenden, Ableitungen. =Gr…“

2021-02-14T19:41:17Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion. Sie ist auffällig durch ihre Periodizität und ihre, sich zyklisch wiederholenden, Ableitungen. =Gr…“

Neue Seite

Die Sinusfunktion ist eine [[trigonometrische Funktion]]. Sie ist auffällig durch ihre Periodizität und ihre, sich zyklisch wiederholenden, Ableitungen.

=Graphische Darstellung=
==Standardfunktion==
[[Datei:Sinusfunktion.jpg|mini|Sinusfunktion]]
In diesem Abschnitt wird nur auf die Funktion '''f(x) = sin(x)''' eingegangen.

Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle [[Reellen Zahlen]]. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den ganzen Zahlen. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den [[Ganzen Zahlen]].

==Einfluss von Parametern<ref>aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)</ref>==
'''f(x) = a * sin(bx + c)'''

Der Parameter '''a''' sorgt für die Ausdehnung des Wertebereiches auf [-a,a].

Der Parameter '''b''' beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur ''2π/b''-periodisch.

Der Parameter '''c''' verursacht eine Verschiebung um ''(c/b)'' entlang der x-Achse. Für c/b > 0 gibt es eine Verschiebung nach links, für c/b < 0 eine Verschiebung nach rechts.

=Ableitung=
Man sollte sich zunächst mit den [[Ableitungsregeln]] für Funktionen vertraut machen.

==Allgemein==
Besonders wichtig ist dabei die Kettenregel. Sie besagt vereinfacht: "''innere mal äußere Ableitung''".

Die Sinusfunktion (als äußere Funktion) besitzt, sich zyklisch wiederholende, Ableitungen.

f(x) = sin(x)

f`(x) = cos(x)

f``(x) = -sin(x)

f```(x) = -cos(x)

f^(4)(x) = sin(x)

...

Die Ableitung der inneren Funktionen müssen je nach Funktionstyp über andere Ableitungsregeln gelöst werden. Beispiele dazu folgen im nächsten Abschnitt.

==Beispiele==
f(x) = sin(x^2) ==> f`(x) = 2x * sin(x^2)

f(x) = sin(e^x) ==> f`(x) = e^x * sin(e^x)

f(x) = 2 * sin(3x^4) ==> f`(x) = 2 * 12x^3 * sin(3x^4) = 24x^3 * sin(3x^4)

=Aufgaben=
1.) Geben Sie alle Nullstellen der Funktion f(x) = sin(2x) im Intervall [0,π] an.

2.) Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters d mit f(x) = sin(x) + d. Zeichnen Sie einen Graphen mit einem frei gewählten d und nennen Sie mögliche Änderungen des Definitions- oder Wertebereiches.

3.) Leiten Sie folgende Funktionen jeweils zweimal ab. a) f(x) = sin(3x^2 + 5x) b) g(x) = -sin(12e^x)

=Quellen=