Sinusfunktion
Die Sinusfunktion ist eine trigonometrische Funktion. Sie ist auffällig durch ihre Periodizität und ihre, sich zyklisch wiederholenden, Ableitungen.
Graphische Darstellung
Standardfunktion
![](/igbb/images/thumb/b/b8/Sinusfunktion.jpg/300px-Sinusfunktion.jpg)
In diesem Abschnitt wird nur auf die Funktion f(x) = sin(x) eingegangen.
Die Sinusfunktion verläuft 2π-periodisch und ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Der Definitionsbereich umfasst alle Reellen Zahlen. Der Wertebereich beschränkt sich auf alle Reellen Zahlen des Intervalls [-1,1]. Nullstellen besitzt die Funktion bei sin(kπ) mit k aus den Ganzen Zahlen. In sin(kπ+π/2) besitzt die Funktion Hochpunkte und in sin(kπ+3π/2) Tiefpunkte, wobei k aus den Ganzen Zahlen.
Einfluss von Parametern
f(x) = a * sin(bx + c)
Der Parameter a hat Einfluss auf die Amplitude des Funktionsgraphen und sorgt für die Änderung des Wertebereiches auf [-a,a].
Der Parameter b beeinflusst die Periodizität der Sinusfunktion. So ist sie dann nur 2π/b-periodisch.
Der Parameter c verursacht eine Verschiebung um (c/b) entlang der x-Achse. Für c/b > 0 gibt es eine Verschiebung nach links, für c/b < 0 eine Verschiebung nach rechts.[1]
Ableitung
Man sollte sich zunächst mit den Ableitungsregeln für Funktionen vertraut machen.
Allgemein
Besonders wichtig ist dabei die Kettenregel. Sie besagt vereinfacht: "innere mal äußere Ableitung".
Die Sinusfunktion (als äußere Funktion) besitzt, sich zyklisch wiederholende, Ableitungen.
f(x) = sin(x)
f`(x) = cos(x)
f``(x) = -sin(x)
f```(x) = -cos(x)
f^(4)(x) = sin(x)
...
Die Ableitung der inneren Funktionen müssen je nach Funktionstyp über andere Ableitungsregeln gelöst werden. Beispiele dazu folgen im nächsten Abschnitt.
Beispiele
f(x) = sin(x^2) ==> f`(x) = 2x * cos(x^2)
f(x) = sin(e^x) ==> f`(x) = e^x * cos(e^x)
f(x) = -2 * sin(3x^4) ==> f`(x) = -2 * 12x^3 * cos(3x^4) = -24x^3 * cos(3x^4)
Aufgaben
1.) Geben Sie alle Nullstellen der Funktion f(x) = sin(2x) im Intervall [0,π] an.
2.) Untersuchen Sie den Einfluss des Parameters d mit f(x) = sin(x) + d. Zeichnen Sie einen Graphen mit einem frei gewählten d und nennen Sie mögliche Änderungen des Definitions- oder Wertebereiches.
3.) Leiten Sie folgende Funktionen jeweils zweimal ab. a) f(x) = sin(3x^2 + 5x) b) g(x) = -sin(12e^x)
Quellen
- ↑ aus: Dr Engelmann, Lutz: Formeln und Tabellen für die Sekundarstufe I und II. 5. überarbeitete Auflage. Berlin, paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH 1994. (S. 39)