Bruchrechnung

Gebrochene Zahlen erleichtern uns das Darstellen vieler verschiedener Sachverhalte. Dieser alltagsnahe Bereich der Mathematik findet Anwendung in vielen Bereichen unseres Lebens, weshalb es sinnvoll ist, sich mit Begriffen wie drei Viertel und 1,5 auszukennen und sich vor allem etwas darunter vorstellen zu können.

Begriffsklärung

Gebrochene Zahlen können in den unterschiedlichsten Formen dargestellt werden. Alle Formen haben gemeinsam, dass sie den Bruchteil eines Ganzen darstellen, also Element der Rationalen Zahlen ℚ sind.

Zum Einen gibt es die gemeinen Brüche, die unter anderem aus einem Nenner bestehen, der unter dem Bruchstrich steht und beschreibt, in wie viele Teile ein Ganzes aufgeteilt wird. Darüber ist ein waagerechter Bruchstrich und oben befindet sich der Zähler, der angibt, wie viele dieser Bruchteile eines Ganzen genommen werden: ÷ (Beispiel: ½)

Die sogenannte gemischte Schreibweise kann dann genutzt werden, wenn der Zähler größer als der Nenner ist, dann kann man den Bruch in einen ganzen Teil und einen Bruchteil aufteilen. Der ganze Teil ergibt sich durch das Teilen der nächstkleineren Zahl des Zählers, die durch den Nenner teilbar ist. Der neue Zähler des übrigen Bruches ist die Differenz von altem Zähler und der nächstkleineren, durch den Nenner teilbaren Zahl: 1÷ (Beispiel 1½) Von dieser gemischten Schreibweise können die Brüche auch zurück in einen gemeinen Bruch umgeschrieben werden, indem man die ganze Zahl vor dem Bruchstrich mit dem Nenner des Bruches multipliziert, dazu den Zähler addiert und schon hat man den Zähler des gemeinen Bruches, den man nur noch auf den Nenner schreiben muss.

Brüche können außerdem auch in eine Dezimalzahl umgeschrieben werden, indem man Zähler durch Nenner teilt, meist nimmt man diese Umschreibung über ein Erweitern/Kürzen auf einen Nenner vor, der eine 1 und daran hängende Nullen besitzt. Anschließend schreibt man den Zähler auf und zählt von hinten so viele Nachkommastellen ab, wie der Zähler Nullen hat. Andersherum kann man eine Zahl auch ohne Komma als Zähler aufschreiben und als Nenner eine 1 mit so vielen Nullen, wie die Ausgangszahl Nachkommastellen besitzt. Durch Kürzen können wir den gemeinen Bruch noch vereinfachen.

Beispiel Erweitern

Erweitern

Das Erweitern dient dazu, gemeine Brüche in einen anderen gemeinen Bruch umzuschreiben, der zwar denselben Anteil darstellt, also per Definition gleich ist, aber durch eine Erhöhung des Nenners und Zählers beschreibt er eine feinere Zerlegung des Ganzen.

Hierbei multipliziert man sowohl Nenner, als auch Zähler mit demselben Faktor.

Beispiel Kürzen

Kürzen

Das Kürzen von gemeinen Brüchen dient dazu, diese in je einen anderen umzuschreiben, der wieder denselben Anteil darstellt, allerdings sowohl einen geringeren Nenner, als auch Zähler besitzt.

Dafür werden beide durch denselben Divisor geteilt.